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[主观题]
设分块矩阵，其中A，B分别是r阶和k阶可逆矩阵，C是r×k矩阵，O是k×r零矩阵．证明矩阵P可逆，并求P－1．
设分块矩阵
，其中A，B分别是r阶和k阶可逆矩阵，C是r×k矩阵，O是k×r零矩阵．求D-1
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设分块矩阵，其中A，B分别是r阶和k阶可逆矩阵，C是r×k矩阵，O是k×r零矩阵．求D-1
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设n阶矩阵A分块为
其中A11为k阶可逆矩阵(k＜n),证明:存在主对角元为1的上三角矩阵U和下三角矩阵L,使得
设
其中A，B分别是m、n阶矩阵。求证：若D是正定矩阵，则A、B都是正定矩阵.反之也成立。
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA：V→V：对于任意X∈V=Mn(C)，αA(X)=AX-AX。
(i)证明
，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
设A是n阶非奇异矩阵，α是n×l列矩阵，b为常数，记分块矩阵
。
(1)计算并化简PQ;
(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b。
设
是一个群、对于a,b∈G,若a·b=b·a,a和b的阶分别是r和s,且循环子群(a)和(b)的交只包含G的么元e,则a·b的阶等于r和s的最小公倍数。
(1)设A是n阶实对称矩阵,满足A2-A=O,r(A)=r＜n,求∣3E-A∣
(2)设A是n阶方阵,满足A2-A=O,r(A)=r＜n,证明A~A(A是对角矩阵)
设A为3阶实对称矩阵，A的秩r(A)＝2，且A
，求 (1)A的特征值与特征向量； (2)矩阵A．
，计算PQR。
