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[主观题]
设A，B是两个nxn实对称矩阵，且B是正定矩阵。证明：存在一nxn实可逆矩阵T使T'AT与T'BT同时为对角形。
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检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个nxn实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法;
3)全体n级实对称(反称，上三角形)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：
7)集合与加法同6)，数量乘法定义为
8)全体正实数R+，加法与数量乘法定义为
(1)设A、C分别为
阶实对称矩阵，B是
实矩阵，
是正定矩阵(实)。证明:
等号当且仅当B=0时成立.
(2)设
是n阶实矩阵，
求证:
设A是实对称矩阵，且A2=0，证明A∞0。
(提示：注意A的对角线上的元
)
(1)求A的特征值与特征向量;
(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A.
证明：A是正定矩阵。
