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[主观题]
设α是欧氏空间V中的一个非零向量,α1,α2,···,αp是V中p个向量,满足证明:1)α1,α≇
设α是欧氏空间V中的一个非零向量,α1,α2,···,αp是V中p个向量,满足
证明:
1)α1,α2,···,αp线性无关;
2)n维欧氏空间中最多有n+1个向量,使其两两夹角都大于π/2。
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设α是欧氏空间V中的一个非零向量,α1,α2,···,αp是V中p个向量,满足
证明:
1)α1,α2,···,αp线性无关;
2)n维欧氏空间中最多有n+1个向量,使其两两夹角都大于π/2。
n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是反对称的,如果对于任意向量a,β∈V。
证明:
(i)反对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是反对称的实矩阵(满足条件AT=-A的矩阵叫作反对称矩阵);
(ii)反之,如果线性变换σ关于V的某一规范正交基的矩阵是反对称的,那么σ一定是反对称线性变换;
(iii)反对称实矩阵的特征根或都是零,或者是纯虚数。
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
令V是实数域R上一个三维向量空间,σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是
(i)求出σ的最小多项式p(x),并把p(x)在R[x]内分解为两个最高次项系数是1的不可约多项式p1(x)与p2(x)的乘积;
(ii)令Wi={ξ∈V|pi(σ)ξ=0},i=1,2。证明,Wi是σ的不变子空间,并且V=W1⊕W2;
(iii)在每一子空间Wi中选取一个基,凑成V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵里只出现三个非零元素。
设α1,α2,···,αn是欧氏空间的n个向量,行列式
叫作α1,...,αn的格拉姆(Gram)行列式,证明G(α1,...,αn)=0当且仅当α1,...,αn线性相关。