矩阵A称为对称矩阵,如果A'=A.试证:
1)A,B都是n阶对称方阵,则AB也是对称的当且仅当A与B可换:
2)A'=A,则A2=0当且仅当A=0.
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
设A=(aij)mxn,试证下列等式成立:
(1)
(2)若|A|≠0,则。
(3)若|A|≠0,则。
(4)若|A|≠0,则,这里k≠0。
(5)若|A|≠0,则
(6)若A,B是同阶可逆矩阵,则。
设二次型记a=
(1)证明二元型f对应的矩阵为
(2)若α、β正交且均为单位向量,证明二次型/在正交变换下的标准形为二次型
B.A的行列式|A|>0
C.对任意的x=(x1,x2,…,xn)T,xi≠0(i=1,2,...,n),有xTAx>0
D.存在正交矩阵Q,使得QTAQ=diag(λ1,λ2,…,λn),其中λi>0(i=1,2,…,n)
A.若A是n阶矩阵,则(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)
B.若A,B均是n×1阶矩阵,则ATB=BTA
C.若A,B均是n阶矩阵,且AB=0,则(A+B)2=A2+B2
D.若A是n阶矩阵,则AmAk=AkAm