是线性空间V上的线性变换，如果
，但
，求证
线性无关。
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第1题
设V是复数域上的n维线性空间，是V的线性变换，且证明：1)如果λ0是的一特征值，那么的不变子空
设V是复数域上的n维线性空间，
是V的线性变换，且
证明：
1)如果λ0是
的一特征值，那么
的不变子空间;
2)至少有一个公共的特征向量。
第2题
设ε1，ε2，...，εn是线性空间V的一组基，是V上的线性变换，证明：可逆当且仅当线性无关。
设ε1，ε2，...，εn是线性空间V的一组基，
是V上的线性变换，证明：可逆当且仅当
线性无关。
第3题
设V是对于非退化对称双线性函数f（α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε1，...，εn如果满足则
设V是对于非退化对称双线性函数f(α，β)的n维准欧氏空间，V的一组基ε1，...，εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换
满足
则称为V的一个准正交变换。试证：
1)准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α，若满足f(α，α)≠0，则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
第4题
设F上三维向量空间的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵是。求σ关于基的矩阵。设ξ=2α≇
设F上三维向量空间的线性变换σ关于基{α1，α2，α3}的矩阵是
。求σ关于基
的矩阵。设ξ=2α1+α2-α3。求σ(ξ)关于基β1，β2，β3的坐标。
可以对角化，
是
证明每个wi∈W。第6题
令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件σ2=σ。证明：（i)Ker（σ)=（ξ-σ（ξ)|ξ∈V};（ii)V=Ker（σ)⊕Im（σ);（iii)如果τ是V的一个线性变换，那么Ker（σ)和Im（σ)都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ。
第7题
设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，试证α1，α≇
设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，
试证α1，α2，α3是V的一组基并求它的对偶基(用f1，f2，f3表出)。
第9题
令V=Mn（C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA：V→V：对于任意X∈V=Mn(C)，αA(X)=AX-AX。
(i)证明
，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
第10题
数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫作幂零的，如果存在一个正整数m使σm=θ。证明：（i)σ是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零;（ii)如果一个幂零变换σ可以对角化，那么σ一定是零变换。
