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[主观题]
证明若用树实现并查集时，如果使用路径压缩，并允许大树并到小树上去。则存在一个由n次运算组成的序列，它需要的计算时间为O(nlog2n)。
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若将森林中的每棵树视作一个等价类，则Kruskal算法迭代过程所涉及的计算不外乎两类：
支持以上操作接口的数据结构，即所谓的独立集(disjoint set)，亦称作并查集(union-find set)。
a)试基于此前介绍过的基本数据结构实现并查集，并用以组织Kruskal算法中的森林;
b)按你的实现，find()和union()接口的复杂度各是多少？相应地，Kruskal算法的复杂度呢？
当元素类型为字符串时，为避免复杂的散列码转换，可以改用键树(trie)结构来实现词典ADT。
a)remove()接口复杂度中的因子r可否消除？
b)put()接口复杂度中的因子r可否消除？
c)试举例说明，以上实现方式在最坏情况下可能需要多达Ω(nr)的空间，其中n=|S|为字符串集的规模。
d)试改用列表来实现各节点，使所需空间的总量线性正比于S中所有字符串的长度总和——当然，get()接口的效率因此会降至O(hr)，其中h为树高，同时也是Ss中字符串的最大长度。
e)键树中往往包含大量的单分支节点。试如图x9.5所示，通过折叠合并相邻的单分支节点，进一步提高键树的时、空效率。改进之后，键树的时、空复杂度各是多少？
f)习题[8-19](173页)曾介绍过四叉树(quadtree)结构，并指出其深度不受限制的缺陷。若将四个象限的二进制编码视作字符，即将字符表取作∑={00，01，10，11}，则四叉树可以看作键树的特例，试基于这一理解，仿照以上技巧对四叉树进行压缩，使其深度不致超过O(n)。
设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.
(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.
(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.
在3.4节消费者的选择模型中，
(I)证明若条件(3)成立,则u(x1,x2)=e是单调减、下凸的曲线，
(2)验证(4),(6),(8)式给出的效用两数是否满足条件(3)，
(3)若消费者的效用函数为(8)式,求最优比例p1q1/p2q2,并分析参数a,b的意义。
(4)若商品甲的价格P,增加,其余条件不变,讨论消费点Q的变化。
(5)若消费者购买商品的钱s增加,其余条件不变,讨论消费点Q的变化。
(6)推广到消费者购买m(>2)种商品的情况。
(1)沿袭5-60题使用逆转链遍历二叉树的思想。
(2)不使用tag标志，而是用内嵌的栈代替tag的作用。该内嵌的栈使用了叶结点作为栈的结构，没有另外定义栈的存储空间。
(3)利用栈解决在回溯时分辨究竟是从左子树还是右子树上升的问题，步骤是：
①当进入有非空左子树的结点的右子树时，将该结点的地址进栈。
②在回溯过程中如遇到结点的左、布子树都非空时，如果该结点就是存于栈顶的结点，则可判定当前是从该结点的右子树退回，该结点的右子女指针指向它的父结点;否则当前是从该结点的左子树退回，该结点的左子女指向它的父结点。
从类似如下的文本文件中读取出所有的姓名，并打印出
重复的姓名和重复的次数，并按重复次数排序：
1,张三,28
2,李四,35
3,张三,28
4,王五,35
5,张三,28
6,李四,35
7,赵六,28
8,田七,35
程序代码如下（答题要博得用人单位的喜欢，包名用该公司，面试前就提前查好该公司
的网址，如果查不到，现场问也是可以的。还要加上实现思路的注释）：
的直径小于3.
